Fonction analysée
f(x) =$\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)}$
Tableau de variations
\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f(x)$ / 2}
{$-\infty$, $-0.197$, $2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, z, -, d, -,}
\tkzTabVar{-/$0$, +/$1.049$, -D+/$-\infty$/$+\infty$, -/$0$}
\end{tikzpicture}
\end{document}
Signe de la dérivée f'(x)
\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f'(x)$/1} {$-\infty$, $-0.197$, $2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, z, -, d, -,}
\end{tikzpicture}
\end{document}
Tableau de signes
\documentclass[preview]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f(x)$/1} {$-\infty$, $1$, $2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, z, -, d, +,}
\end{tikzpicture}
\end{document}
Étude complète de f(x) = \frac{2\left(x-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)}
Domaine de définition
La fonction f(x)=\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)} est définie sur $D_f=(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.
Dérivée
La dérivée est $f'(x)=\frac{- 4 x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) + 2 \left(1 - x\right) \left(x^{2} + 1\right) + 2 \left(x - 2\right) \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$.
Points critiques
Les extremums ($f'(x)=0$) : $x_{1}=-0.197429336933033$ avec $f=1.04895891047029$.
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